Determine o valor de dr/dt em t = 0 , se r = (theta^2 + 7)^(1/3) e theta^2 t + theta = 1

Passo 1

Podemos derivar r em relação a t na primeira expressão, porém surgirá d θ / d t que obteremos derivando implicitamente a segunda expressão.

Passo 2

Derivando a primeira expressão:

d r d t = 1 3 θ 2 + 7 - 2 3 2 θ d θ d t

Derivando a segunda expressão, temos:

2 θ d θ d t t + θ 2 + d θ d t = 1

d θ d t 2 θ t + 1 = 1 - θ 2

d θ d t = 1 - θ 2 2 θ t + 1

Passo 3

Resta agora achar os valores de θ e d θ d t quando t = 0 para substituir na expressão que nos dá d r d t :

θ 2 t + θ   =   1

θ 2 . 0 + θ = 1

θ = 1

d θ d t = 1 - θ 2 2 θ t + 1

d θ d t = 1 - 1 ( 2.1 . 0 + 1 )

d θ d t = 0

Resta apenas substituir esses valores em d r d t = 1 3 θ 2 + 7 - 2 3 2 θ d θ d t  

Resposta

  d r d t = 0

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