Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 10.2 - Ex. 1d

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Calcule as derivadas parciais de

f x , y , z = sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de três variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos f x , y , z = sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 . Assim, calculando a derivada em x , temos:

∂ f x , y , z ∂ x = ∂ ∂ x sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 = cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2

Dai,

∂ f x , y , z ∂ x = 2 x cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

∂ f x , y , z ∂ y = ∂ ∂ y sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 = cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ y x 2 + y 2 + z 2

Dai,

∂ f x , y , z ∂ y = 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Passo 4

Por fim, calculando a derivada em z , temos:

∂ f x , y , z ∂ z = ∂ ∂ z sin ⁡ x 2 + y 2 + z 2 = cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2 ∂ ∂ z x 2 + y 2 + z 2

Dai,

∂ f x , y , z ∂ z = 2 z cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2

Resposta

∂ f x , y , z ∂ x = 2 x cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2

∂ f x , y , z ∂ y = 2 y cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2

∂ f x , y , z ∂ z = 2 z cos ⁡ x 2 + y 2 + z 2

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