Determine a solução geral.

d^2y/dt^2 - 3 \* dy/dt = 3 \* t^2

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

y t = y h t + y p t

Onde y h t é a solução homogênea e y p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

d 2 y d t 2 - 3 d y d t = 0

Vamos então supor a solução y h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

d y d t = r e r t

d 2 y d t 2 = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t - 3 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 - 3 r = 0

r 2 - 3 r = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 - 3 r = 0

r r - 3 = 0

r 1 = 0

r 2 = 3

Portanto a solução homogênea é da forma

y h t = A + B e 3 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 3 t 2 .

Temos então como entrada um polinômio de segundo grau, para esse tipo de entrada, como não temos uma componente y na equação diferencial, vamos supor que a solução particular tem a cara de um polinômio de mesmo grau, multiplicado por t

y p t = a t 3 + b t 2 + c t

Calculando as derivadas

y p ' t = 3 a t 2 + 2 b t + c

y p ' ' t = 6 a t + 2 b

Substituindo então na equação

d 2 y p d t 2 - 3 d y p d t = 3 t 2

6 a t + 2 b - 3 3 a t 2 + 2 b t + c = 3 t 2

- 9 a t 2 + 6 a - 6 b t + 2 b - 3 c = 3 t 2

Por igualdade de polinômio

- 9 a = 3 ⇒ a = - 1 3 6 a - 6 b = 0 2 b - 3 c = 0

Manipulando a segunda equação

6 a = 6 b ⇒ a = b

b = - 1 3

Fazendo a mesma coisa com a terceira equação

3 c = 2 b ⇒ c = 2 3 b

c = 2 3 - 1 3

c = - 2 9

Então temos a solução particular

y p t = - 1 3 t 3 - 1 3 t 2 - 2 9 t

E a solução geral é dada por

y t = y h t + y p t

y t = A + B e 3 t - 1 3 t 3 - 1 3 t 2 - 2 9 t

Com A , B ∈ R .

Resposta

y t = A + B e 3 t - 1 3 t 3 - 1 3 t 2 - 2 9 t

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