Enunciado

Calcule as derivadas parciais de

f (x , y , z) = sin (x^2 + y^2 + z^2) .

Passo 1

O enunciado nos dá uma função de três variáveis e nos pede para determinar as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis.

A esta altura do campeonato já não tem mais mistério! Quem sabe derivar uma função de duas variáveis sabe derivar qualquer coisa! Basta deixar tudo o resto do mundo constante enquanto você deriva em relação a uma variável específica.

Vamos lá calcular!

Passo 2

Temos f (x , y , z) = sin (x^2 + y^2 + z^2) . Assim, calculando a derivada em x , temos:

(del f (x , y , z))/(del x) = (del)/(del x) [sin (x^2 + y^2 + z^2)] = cos (x^2 + y^2 + z^2) (del)/(del x) [x^2 + y^2 + z^2]

Dai,

(del f (x , y , z))/(del x) = 2 x cos (x^2 + y^2 + z^2)

Passo 3

Agora, calculando a derivada em y , temos:

(del f (x , y , z))/(del y) = (del)/(del y) [sin (x^2 + y^2 + z^2)] = cos (x^2 + y^2 + z^2) (del)/(del y) [x^2 + y^2 + z^2]

Dai,

(del f (x , y , z))/(del y) = 2 y cos (x^2 + y^2 + z^2)

Passo 4

Por fim, calculando a derivada em z , temos:

(del f (x , y , z))/(del z) = (del)/(del z) [sin (x^2 + y^2 + z^2)] = cos (x^2 + y^2 + z^2) (del)/(del z) [x^2 + y^2 + z^2]

Dai,

(del f (x , y , z))/(del z) = 2 z cos (x^2 + y^2 + z^2)

Resposta

(del f (x , y , z))/(del x) = 2 x cos (x^2 + y^2 + z^2)

(del f (x , y , z))/(del y) = 2 y cos (x^2 + y^2 + z^2)

(del f (x , y , z))/(del z) = 2 z cos (x^2 + y^2 + z^2)

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