Enunciado

Um modelo para a taxa de metabolismo basal, em kcal/h , de um homem jovem é R t = 85 - 0,18 cos ⁡ π t 12 , em que t é o tempo em horas medido a partir de 5 horas da manhã. Qual é o metabolismo basal total deste homem, ∫ 0 24 R t d t , em um período de 24 horas.

Passo 1

Devemos calcular a integral definida da função taxa para achar o metabolismo:

∫ 0 24 85 - 0,18 cos ⁡ π t 12 d t

Para resolver essa integral, devemos utilizar uma substituição simples com u = π t 12 , sendo a derivada d u = π 12 d t     →     12 π d u = d t .

Agora verificamos os limites de integração na variável u .

t = 24 u = 24 π 12 = 2 π t = 0 u = 0

Passo 2

Trocando a variável da integral, ficamos com:

∫ 0 24 85 - 0,18 cos ⁡ π t 12 d t = ∫ 0 2 π 85 - 0,18 cos ⁡ u 12 π d u

= 12 π ∫ 0 2 π 85 - 0,18 cos ⁡ u d u

Agora basta usar a primitiva ∫ cos ⁡ u d u = sen ⁡ u + C e resolver a integral definida.

Passo 3

Temos uma integral definida e sabemos que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F ' = f .

Dessa forma,

12 π ∫ 0 2 π 85 - 0,18 cos ⁡ u d u = 12 π ( 85 u - 0,18 sen ⁡ u ) 0 2 π

= 12 π ( 85 ( 2 π ) - 0,18 sen ⁡ 2 π - 85 ⋅ 0 - 0,18 sen ⁡ 0 )

= 2 π ⋅ 12 ⋅ 85 π = 2040

∫ 0 24 85 - 0,18 cos ⁡ π t 12 d t = 2040

Sendo assim a resposta é 2040 kcal .

Resposta

2040   kcal

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