Enunciado

Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor de θ .

r = cos ⁡ ( θ / 3 ) ,   θ = π

Passo 1

A inclinação da reta tangente à uma função é dada pelo valor de sua primeira derivada, mas para equações polares não basta derivar a função r em relação a θ , precisamos calcular o nosso amado y ' ( x ) , para isso basta que usemos a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Passo 2

Apesar de não ser só calcular d r d θ , vamos ter que calcular ele mesmo assim, hehe

r = cos ⁡ θ 3

Para derivar isso é só não esquecer da regra da cadeia

d r d θ = - sen ⁡ θ 3 ⋅ 1 3 = - sen ⁡ θ 3 3

Passo 3

Agora substituímos o nosso d r d θ na equação

d y d x = - sen ⁡ θ 3 3 sen ⁡ θ + r cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 3 3 cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Substituindo também o r = cos ⁡ ( θ / 3 )

d y d x = - sen ⁡ θ 3 3 sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 3 cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 3 3 cos ⁡ θ - cos ⁡ θ 3 sen ⁡ θ

Agora é só substituir θ = π e simplificar o que der

d y d x = - sen ⁡ π   3 3 sen ⁡ π   + cos ⁡ π 3 cos ⁡ π   - sen ⁡ π   3 3 cos ⁡ π   - cos ⁡ π   3 sen ⁡ π   = - 3 2 3 ( 0 ) + 1 2 ( - 1 ) - 3 2 3 ( - 1 ) - 1 2 ( 0 )

d y d x = - 1 2 3 6

Fazendo a divisão de fração

d y d x = - 1 2 ⋅ 6 3 = - 3 3

Multiplicando por 3 em cima e em baixo

d y d x = - 3 3 ⋅ 3 3 = - 3 3 3 = - 3

Resposta

d y d x = - 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = e θ
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical. r = 1 - sen ⁡ θ
Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = 2 sen ⁡ t y = 3 cos ⁡ t 0 ≤ t ≤ 2 π
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado: x = e t y = t - ln ⁡ t 2 t = 1
Encontre uma equação da(s) tangente(s) à curva no ponto dado. A seguir, trace a curva e a(s) tangente(s) com auxílio de uma ferramenta gráfica. x = 6 sen ⁡ t y = t 2 + t ( 0,0 )