Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.3 - Ex. 61
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:
Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:
Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:
Passo 2
Para isso vamos achar o que é
Substituindo
Agora achando , substiruindo
Passo 3
Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar usando a regra do produto
Simplicando usando a relação
Igualando a zero
Dividindo por
Analisando agora quais ângulos que fazem o cosseno zerar, o cosseno zera em e em , então os possíveis ângulos com tangentes horizontais são:
Passo 4
Para achar as tangentes verticais, vamos derivar
Simplificando usando
Igualando a zero
Dividindo por
Analisando agora quais ângulos que fazem o seno zerar, o seno zera em e em , então os possíveis ângulos com tangentes verticais são:
Passo 5
Como não tivemos ângulos que tiveram e , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.
Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular para cada achado.
Para tangentes horizontais, com e
Então os pontos que tem tangentes horizontais, no formato são e .
Para tangentes verticais, com e
Então os pontos que tem tangentes verticais, no formato são e .
Resposta
Horizontais: e .
Verticais: e .