Enunciado

Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20 nos pontos determinados. Esboce as curvas com suas tangentes nesses pontos.

Rosa de quatro pétalas r = cos ⁡ 2 θ ;     θ = 0 ,   ± π / 2 ,   π

Passo 1

Oi galerinha, vem comigo!

Primeiro precisamos relembrar que o coeficiente angular de uma curva polar r = f θ no plano x y é dado ainda por d y / d x , que não é r ' = d f / d θ . Para saber por que, pense no gráfico de f como o das equações paramétricas:

x = r cos ⁡ θ = f θ cos ⁡ θ ,         y = r sen ⁡ θ = f θ sen ⁡ θ

Se f é uma função derivável de θ , então x e y também o são e, quando d x / d θ ≠ 0 , podemos calcular d y / d x a partir da fórmula paramétrica:

d y d x = d y / d θ d x / d θ

Então com a equação r = cos ⁡ 2 θ , podemos escrever da seguinte forma:

x = cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

y = cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ

Jogando na equação do coeficiente angular, teremos o seguinte:

d y d x = d d θ cos ⁡ 2 θ sen ⁡ θ d d θ cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ cos ⁡ 2 θ - 2 sen ⁡ θ sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ - cos ⁡ 2 θ - 2 sen ⁡ 2 θ cos ⁡ θ

Passo 2

  • Para θ = 0 , temos:
  • d y d x θ = 0 = cos ⁡ 0 cos ⁡ ( 2 ∙ 0 ) - 2 sen ⁡ 0 sen ⁡ ( 2 ∙ 0 ) sen ⁡ 0 - cos ⁡ ( 2 ∙ 0 ) - 2 sen ⁡ ( 2 ∙ 0 ) cos ⁡ 0

  • Para θ = - π / 2
  • d y d x θ = - π / 2 = cos ⁡ - π 2 cos ⁡ 2 - π 2 - 2 sen ⁡ - π 2 sen ⁡ 2 - π 2 sen ⁡ - π 2 - cos ⁡ 2 - π 2 - 2 sen ⁡ 2 - π 2 cos ⁡ - π 2 = 0 - 0 - 1 - 0 = 0

  • Para θ = π / 2
  • d y d x θ = π / 2 = cos ⁡ π 2 cos ⁡ 2 π 2 - 2 sen ⁡ π 2 sen ⁡ 2 π 2 sen ⁡ π 2 - cos ⁡ 2 π 2 - 2 sen ⁡ 2 π 2 cos ⁡ π 2 = 0 - 0 - 1 - 0 = 0

  • Para θ = π

d y d x θ = π = cos ⁡ π cos ⁡ 2 π - 2 sen ⁡ π sen ⁡ 2 π sen ⁡ π - cos ⁡ 2 π - 2 sen ⁡ 2 π cos ⁡ π = - 1 - 0 0 - 0 = 0

Passo 3

Utilizando o programa computacional WolframAlpha a equação r = sen ⁡ 2 θ , e definindo as tangentes nesse gráfico, temos:

Como podemos observar no Passo 2, e juntamente com o gráfico que obtemos, os coeficiente angulares para quando θ = 0 e θ = π não existe, porque forma uma reta perpendicular ao eixo das abscissas.

Até mais galerinha.

Resposta

O coeficiente angular em ( 1 ,   0 ) e em ( 1 ,   π ) não existe, porque a reta é perpendicular ao eixo das abscissas. Mas, o coeficiente angular em ( - 1 ,   - π / 2 ) e em ( - 1 ,   π / 2 ) é 0 .

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