Enunciado

Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:

int_(- 1)^(oo) (d theta)/(theta^2 + 5 theta + 6)

Passo 1

Primeiro vamos aplicar frações parciais a fim de desmembrar nossa integral em duas. Temos que:

int_(- 1)^(oo) (d theta)/(theta^2 + 5 theta + 6) = int_(- 1)^(oo) (d theta)/(( theta + 2 ) ( theta + 3 )) = int_(- 1)^(oo) ((1)/(theta + 2) - (1)/(theta + 3)) d theta =

= int_(- 1)^(oo) (1)/(theta + 2) d theta - int_(- 1)^(oo) (1)/(theta + 3) d theta

Passo 2

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em [ a , oo ) , então:

int_a^(oo) f (x) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f ( x ) d x

Assim:

int_(- 1)^(oo) (1)/(theta + 2) dtheta - int_(- 1)^(oo) (1)/(theta + 3) dtheta = underset(b -> oo)(lim) int_(- 1)^b (1)/(theta + 2) d theta + underset(b -> oo)(lim) int_(- 1)^b (1)/(theta + 3) d theta

Passo 3

Vamos aplicar a regra da substituição. Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

underset(b -> oo)(lim) int_(- 1)^b (1)/(theta + 2) d theta => u = theta + 2 e d u = d theta => underset(b -> oo)(lim) int_(- 1)^b (1)/(u) d u = underset(b -> oo)(lim) ln (u) (b)/(- 1)

underset(b -> oo)(lim) ln (theta + 2) (b)/(- 1) = underset(b -> oo)(lim) ( ln (b + 2) - ln (1) )

underset(b -> oo)(lim) int_(- 1)^b (1)/(theta + 3) d theta => v = theta + 3 e d v = d theta => underset(b -> oo)(lim) int_(- 1)^b (1)/(v) d v = underset(c -> oo)(lim) ln (v) (b)/(- 1)

underset(b -> oo)(lim) ln (theta + 3) (b)/(- 1) = underset(c -> oo)(lim) ( ln (b + 3) - ln ( 2 ) )

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 4

Aplicando o limite:

underset(b -> oo)(lim) ( ln (b + 2) - ln (1) ) - underset(b -> oo)(lim) ( ln (b + 3) - ln ( 2 ) ) =

underset(b -> oo)(lim) (ln (b + 2))/(ln (b + 3)) - ln (1) + ln (2) = ln (2)

Observe que como os limites convergem para o mesmo valor (infinito) podemos aplicar a propriedade da soma e subtração.

Resposta

ln ( 2 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais quanto à cinvergência. ∫ 0 π 2 c o t gθd θ
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais quanto à cinvergência. ∫ 0 π 2 t gθd θ
Calcule a integral abaixo sem usar tabela: ∫ 0 1 x ln ⁡ x d x
Calcule a integral abaixo sem usar tabela:int_0^2 (d s)/(sqrt(4 - s^2))
Calcule a integral abaixo:int_2^4 (d t)/(t sqrt(t^2 - 4 ))