Enunciado

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desse livro

Calcule a integra ∫ x 3 . x 2 + 1   d x   Algumas integrais não requerem integração por partes.

Passo 1

O enunciado pede que para resolvermos essa integral e afirma que nem todas as integrais são calculadas por meio de integração por partes. Nessa questão usaremos primeiro o método da substituição. Em seguida usaremos integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com uma substituição:

w =   x 2 + 1 logo x 2 = w - 1

d w = x 2 + 1 ' d x

d w = 2 x   d x

Reorganizando para facilitar os cálculos:

∫ x 3 . x 2 + 1   d x       =   ∫ x 2 . x . x 2 + 1   d x

Multiplicamos por um valor neutro para que possa substituir por “dw”. É possível notar que 2 2 é o melhor número, pois é o mesmo que multiplicar por 1:

=   2 2 . ∫ x 2 . x . x 2 + 1   d x

= 1 2 . ∫ x 2 . x 2 + 1   . 2 x d x

= 1 2 . ∫ ( w - 1 ) . w   d w

Passo 3

Agora para continuar desenvolvendo iremos integrar por partes ∫ ( w - 1 ) . w   d w :

Escolhendo o valor de “u” e de “dv”, sendo que “u” é o valor que será derivado e o de “dv” será integrado.

u   =   ( w - 1 )

    Pois é o valor mais simples de derivar    

d u   =   ( w - 1 ) ’ .   d w        

d u   =   d w        

    d v   =   w   d w

  v = ∫ w 1 2   d w

v = w 1 2 + 1 1 2 + 1

    v   =   w 3 2 3 2

    v   = 2 . w 3 2 3

Substituímos os valores encontrados na fórmula da integração por partes.

∫ u   d v = u . v -   ∫ v   d u

∫ ( w - 1 ) . w   d w = ( w - 1 ) . 2 . w 3 2 3 -   ∫ 2 . w 3 2 3   d w

= ( w - 1 ) . 2 . w 3 2 3 - 2 3 ∫ w 3 2   d w

= 2 . w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 2 3 . w 3 2 + 1 3 2 + 1

= 2 . w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 2 3 . w 5 2 5 2

= 2 . w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 2 3 . 2 . w 5 2 5

= 2 . w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 4 . w 5 2 15

Continuando a resolução e substituindo o resultado de ∫ ( w - 1 ) . w   d w :

= 1 2 . ∫ ( w - 1 ) . w   d w

= 1 2 . 2 . w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 4 . w 5 2 15

=   w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 2 . w 5 2 15

Por fim substituímos w =   x 2 + 1

=   w 3 2 ( w - 1 ) 3 - 2 . w 5 2 15

=   ( x 2 + 1 ) 3 2 ( x 2 + 1 - 1 ) 3 - 2 . ( x 2 + 1 ) 5 2 15

=   ( x 2 + 1 ) 3 2 . ( x 2 ) 3 - 2 . x 2 + 1 5 2 15 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 3 . x 2 + 1   d x       =   ( x 2 + 1 ) 3 2 . ( x 2 ) 3 - 2 . x 2 + 1 5 2 15 + c

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