Calcule as integrais que convirjam.

∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t = lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e - t 1 + e - 2 t d t + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t 1 + e - 2 t d t

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) através do método da substituição simples com:

u = e - t ,   t a l   q u e   d u = - e - t d t

Teremos:

Quando t = 0 → u = 1

Quando t = a → u = e - a

Logo:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e - t 1 + e - 2 t d t = lim a → - ∞ ⁡ ∫ e - a 1 1 1 + u 2 - d u

E resolvendo a integral através da fórmula 22 que se encontra na página 490 do livro Cálculo Vol. 1 - 10 ª Ed – ANTON:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e - t 1 + e - 2 t d t = - lim a → - ∞ ⁡ a r c t g u | 1 e - a

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e - t 1 + e - 2 t d t = - lim a → - ∞ ⁡ a r c t g 1 - a r c t g e - a

Logo:

lim a → - ∞ ⁡ ∫ a 0 e - t 1 + e - 2 t d t = - π 4 + π 2 = π 4

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t 1 + e - 2 t d t = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 e - b 1 1 + u 2 - d u

E resolvendo a integral:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t 1 + e - 2 t d t = - lim b → + ∞ ⁡ a r c t g u | e - b 1

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t 1 + e - 2 t d t = - lim b → + ∞ ⁡ a r c t g e - b - a r c t g 1

Logo:

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 0 b e - t 1 + e - 2 t d t = 0 + π 4 = π 4

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t = π 4 + π 4

Logo:

∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t = π 2

Resposta

∫ - ∞ + ∞ e - t 1 + e - 2 t d t = π 2

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