Enunciado

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- oo)^(+ oo) x d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- oo)^(+ oo) x d x

O integrando não está definido para ambos os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- oo)^(+ oo) x d x = underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 x d x + underset(b -> + oo)(lim) int_0^b x d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite:

underset(a -> - oo)(lim) int_a^0 x d x = underset(a -> - oo)(lim) [(x^2)/(2)] | [[0],[a]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

int_(- oo)^(+ oo) x d x = (1)/(2) underset(a -> - oo)(lim) [0 - a^2]

Logo:

int_(- oo)^(+ oo) x d x = - oo

Como um dos limites resultou em um valor infinito, não é necessário calcular o outro limite, já que isso é o suficiente para que a integral seja divergente.

Resposta

int_(- oo)^(+ oo) x d x = - oo

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Utilizando o exercício 2, estude a convergência ou a divergência de cada uma das integrais a seguir. ∫ 1 ∞ 2 x 3 + x 2 + 1 x 5 + x + 2d x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 1 ∞ e 1 x x 2d x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 0 ∞ x e - x x 2 + x + 1d x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 0 ∞ e - x cos ⁡ xd x
É convergente ou divergente? Justifique. ∫ 1 ∞ 1 x 5 + 3 x + 1d x