Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

4.

∫ 0 2 d x 8 + 2 x 2

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso I.

Passo 2

Vamos começar manipulando um pouco nossa integral, começando por colocar o 2 em evidência

∫ 0 2 d x 2 4 + x 2   = 1 2 ∫ 0 2 d x 4 + x 2  

Passo 3

Agora nós teremos a mesma integral do exercício anterior.

Vamos começar manipulando um pouco nossa integral, começando por colocar o 4 em evidência

∫ 0 2 d x 4 1 + x 2 4   = 1 4 ∫ 0 2 d x 1 + x 2 2  

Agora podemos fazer a substituição

u = x 2 d u = 1 2 d x

Então teremos

1 4 ∫ 0 1 2 d u 1 + u 2   = 1 2 ∫ 0 1 d u 1 + u 2  

Agora é só calcular a integral

1 2 ∫ 0 1 d u 1 + u 2   = 1 2 a r c t g   u 0 1

Passo 4

Agora é só calcular a integral

1 2 1 2 a r c t g   x 2 0 2 = 1 2 1 2 a r c t g   1 - 1 2   a r c t g   0 = 1 2 1 2 ⋅ π 4 - 0 = π 16

Resposta

π 16

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