3) Calcule ∫ - π π s e n n x s e n m x d x , sendo m e n naturais não-nulos.

Passo 1

Esse tipo de questão é bem clássico e temos que saber resolver! A estratégia é a seguinte:

Lá da trigonometria, temos:

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

Tá com medo de esquecer? É só fazer assim ó:

c o s a - b = c o s a ⋅ cos ⁡ b + s e n a ⋅ sen ⁡ b

c o s a + b = c o s a ⋅ cos ⁡ b - s e n a ⋅ sen ⁡ b

Subtraindo as duas:

c o s a - b - c o s a + b = 2 ⋅ s e n a ⋅ sen ⁡ b

Logo,

s e n a ⋅ s e n b = 1 2 ⋅ c o s a - b - c o s a + b

Passo 2

Agora vamos usar aquela relação do ali de cima para transformar de produto em soma!

s e n n x ⋅ sen ⁡ m x = 1 2 ⋅ c o s n x + m x - c o s n x - m x

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos finalizar!

I = ∫ - π π s e n n x ⋅ sen ⁡ m x d x = ∫ - π π 1 2 ⋅ c o s n x + m x - c o s n x - m x d x

Aqui temos que tomar um cuidado, pois n pode ser igual a m e quando formos resolver a integral iremos dividir por n - m .

Caso 1: n ≠ m

Resolvendo, vai ficar assim:

I = 1 2 ⋅ sen ⁡ n + m x n + m + sen ⁡ n - m x n - m | - π π

Por fim, temos:

I = - 1 2 ⋅ sen ⁡ n + m π n + m - sen ⁡ - n + m π n + m - sen ⁡ n - m π n - m - sen ⁡ - n - m π n - m

Lembrete: s e n - x =   - s e n ( x )

Usando esse lembrete aqui de cima:

I = - 1 2 ⋅ sen ⁡ n + m π n + m + sen ⁡ n + m π n + m - sen ⁡ n - m π n - m + sen ⁡ n - m π n - m

I = - 2 2 ⋅ sen ⁡ n + m π n + m - sen ⁡ n - m π n - m

Como o seno de qualquer múltiplo inteiro de π é zero, temos:

I = 0

Caso 2: n = m

I = 1 2 ⋅ ∫ - π π c o s n + m x d x + ∫ - π π c o s 0 d x = 1 2 ⋅ ∫ - π π c o s n + m x d x + ∫ - π π d x

Logo,

I = 1 2 ⋅ s e n n + m x n + m | - π π + x | - π π  

s e n n + m x n + m | - π π = sen ⁡ n + m π n + m - sen ⁡ n - m π n - m = 0

Assim,

I = 1 2 ⋅ s e n n + m x n + m | - π π + x | - π π = 1 2 ⋅ ( 0 + π - - π = 1 2 ⋅ 2 π = π

Resposta

Se n ≠ m :

0

Se n = m :

π

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