Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

6.

∫ 0 1 2 2 2 d x 1 - 4 x 2

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

u = 2 x d u = 2 d x

E nossa integral fica o seguinte

∫ d u 1 - u 2

Passo 3

Vamos fazer uma substituição

u = s e n ѳ d u = c o s ѳ   d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

∫ c o s ѳ   d ѳ 1 - s e n 2 ѳ  

Passo 4

Mas sabemos que

1 - s e n 2 ѳ = cos ⁡ ѳ

Então

∫ cos ⁡ ѳ   1 - s e n 2 ѳ   d ѳ =   ∫ cos ⁡ ѳ   cos ⁡ ѳ   d ѳ = ∫ d ѳ

Então o resultado da integral é

∫ d ѳ = ѳ

Passo 5

Mas sabemos que

u = s e n   ѳ

Então

ѳ = a r c s e n   u

Sabemos também que

u = 2 x

Então

ѳ = a r c s e n ( 2 x )

Logo

ѳ = a r c s e n 2 x 0 1 2 2 = a r c s e n 2 1 2 2 - a r c s e n 0 = π 4 - 0 = π 4

Resposta

π 4

9 - x 2

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