Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

7.

∫ 25 - t 2

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição

t = 5 s e n   ѳ d t = 5 cos ⁡ ѳ   d ѳ

E nossa integral fica o seguinte

∫ 25 - 25 s e n 2 ѳ ⋅ 5 c o s ѳ   d ѳ

Passo 3

Agora podemos colocar o 5 em evidência

∫ 25 - 25 s e n 2 ѳ ⋅ 5 c o s ѳ   d ѳ = ∫ 5 1 - s e n 2 ѳ ⋅ 5 c o s ѳ   d ѳ

Passo 4

Mas sabemos que

1 - s e n 2 ѳ = cos ⁡ ѳ

Então

∫ 5 1 - s e n 2 ѳ ⋅ 5 c o s ѳ   d ѳ = ∫ 5 cos ⁡ ѳ ⋅ 5   c o s ѳ   d ѳ = 25 ∫ c o s 2 ѳ   d ѳ

Passo 5

Mas sabemos que

c o s 2 ѳ = 1 + cos ⁡ 2 ѳ 2

Então

25 ∫ c o s 2 ѳ   d ѳ = 25 ∫ 1 + cos ⁡ 2 ѳ 2 d ѳ = 25 ⋅ ∫ 1 2 d ѳ + ∫ cos ⁡ 2 ѳ 2   d ѳ  

Passo 6

Agora é só calcular a integral

25 ⋅ ∫ 1 2 d ѳ + ∫ cos ⁡ 2 ѳ 2   d ѳ   = 25 ⋅ 1 2 ѳ + 1 2 ⋅ s e n   ѳ ⋅ cos ⁡ ѳ   + C

Passo 7

Mas sabemos que

t = 5 s e n   ѳ

Então

ѳ = a r c s e n t 5

Então nosso resultado fica

25 ⋅ 1 2 a r c s e n t 5 + 1 2 ⋅ s e n   a r c s e n t 5 ⋅ cos ⁡ a r c s e n t 5   + C

Isso vai ficar

25 2 ⋅ a r c s e n t 5 + t 5 ⋅ 25 - t 2 5 + C

Resposta

25 2 ⋅ a r c s e n t 5 + t 5 ⋅ 25 - t 2 5 + C

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