Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

9. ∫ 0 π 3 2 s e c 2 x   d x

Passo 1

Então galera, essa questãozinha difere um pouco das outras que resolvemos, mas essa aqui também é tranquila de resolver, não se assustem! Antes de tudo, podemos reescrever a integral assim:

2 ∫ 0 π 3 s e c ² x d x

Para resolvermos essa questão, devemos utilizar o raciocínio do teorema fundamental do cálculo, ok? Temos que pensar o seguinte: qual é a função que quando derivada dá o integrando? Isto é:

F ' x = d d x ∫ 0 x f ( t ) d t = f ( x )

Parece um bicho de 7 cabeças, não é mesmo? Mas fazendo algumas questões já fica claro que não é. Se liga!

Passo 2

Qual função que derivamos e que dá s e c ² x ? Essa função é t g   x . Sendo assim, teremos:

2 ∫ 0 π 3 s e c ² x d x = [ 2 . t g x ]   π 3 0  

2 ∫ 0 π 3 s e c ² x d x = 2 . t g   π 3 - t g   0

Como t g   π 3 = 3 e t g   0 = 0 , então se substituirmos teremos o seguinte:

2 ∫ 0 π 3 s e c ² x d x = 2 . 3 - 0

∴ ∫ 0 π 3 2 s e c ² x d x = 2 3

E essa é a nossa resposta! 😉

Resposta

∫ 0 π 3 2 s e c ² x d x = 2 3

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