Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 8.2 - Ex. 53

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Calcule as integrais nos Exercícios 51-56

53

∫ - π π s e n 3 x ⋅ s e n 3 x   d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral definida.

Passo 2

Repare que podemos reescrever essa integral dessa forma

∫ - π π s e n 2 3 x   d x

E vamos lembrar também daquela relação primordial da trigonometria onde

s e n ( x ) 2 = 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2

E assim podemos escrever

∫ - π π s e n 2 3 x   d x = ∫ - π π 1 - c o s 6 x 2   d x

Passo 3

Para resolver a integral vamos separá-la em duas

∫ - π π 1 2   d x - 1 2 ∫ - π π ( c o s 6 x )   d x

Passo 4

Resolver a primeira integral é simples

∫ - π π 1 2   d x = 1 2 π - - π = π

Passo 5

A segunda integral dá um pouquinho mais de trabalho, mas basta fazer uma substituição de variável onde u = 6 x e lembrar que a integral de cos ⁡ x é s e n ( x )

1 2 ∫ - π π ( c o s 6 x )   d x

1 2 1 6 s e n 6 x = 1 2 1 6 s e n 6 π - s e n - 6 π = 0

Passo 6

Agora é só somar as integrais

0 + π = π

Resposta

A resposta é π .

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