Enunciado

1.Calcule.

int (1)/([[3 x - 2]]) d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção, não subestime a força de uma integral hein e lembre-se precisamos escrever todos os termos da integral em função de uma nova variável u , sem mais delongas, vamos lá!

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos 3 x - 2 de u :

u = 3 x - 2

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( u ) ' = ( 3 x - 2 ) '

d u = 3 d x

Isolando d x , para facilitar a visualização:

d x = (d u)/(3)

Passo 2

Temos todos os “integrantes “ da integral em função de u, anotando eles para não esquecermos:

u = 3 x - 2

d x = (d u)/(3)

Fazendo uma substituição tranquila na integral, teremos:

int (1)/([[3 x - 2]]) d x = int (1)/(u) (d u)/(3) = int (d u)/(3 u)

Colocaremos o (1)/(3) na frente da integral:

int (1)/([[3 x - 2]]) d x = (1)/(3) int (d u)/(u)

Passo 3

Lembrando que a integral de int (1)/(u) d u = ln [[| u | + c]] , teremos que:

(1)/(3) int (1)/(u) d u = (1)/(3) ln [[| u | + c]]

Não esqueça que queremos a integral em função de x , u foi apenas uma ferramenta para resolvermos, então voltando a variável do problema:

u = 3 x - 2

E obteremos a resposta:

int (1)/([[3 x - 2]]) d x = (1)/(3) ln [[| 3 x - 2 | + c]]

Resposta

int (1)/([[3 x - 2]]) d x = (1)/(3) ln [[| 3 x - 2 | + c]]

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