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Calcule a integral

∫ e t   d t e 2 t + 3 e t + 2  

Passo 1

Queremos resolver essa integral e para isso, vamos inicialmente fazer uma substituição simples de modo a torna a integral mais amigável, assim, tomemos

e t = u → d u d t = e t → d u = e t   d t

∫ d u u 2 + 3 u + 2

Passo 2

Agora, podemos fatorar o denominador utilizando Bhaskara ou soma e produto de modo a obtermos

u 2 + 3 u + 2 = u + 1 ⋅ u + 2

Então, podemos escrever nossa integral da seguinte forma

∫ d u u + 1 ⋅ u + 2

Utilizando o método de frações parciais, vamos tentar reescrever a integral com um formato mais agradável, dessa forma teremos

1 u + 1 ⋅ u + 2 = A u + 1 + B u + 2

1 u + 1 ⋅ u + 2 = A ⋅ u + 2 + B ⋅ ( u + 1 ) ( u + 1 ) ⋅ ( u + 2 )

1 u + 1 ⋅ u + 2 = u ⋅ A + B + ( 2 A + B ) ( u + 1 ) ⋅ ( u + 2 )

Comparando-se os lados esquerdos com o direito, chegaremos no seguinte sistema linear

A + B = 0 2 A + B = 1

→ B = - A

Substituindo na segunda equação, vamos obter

2 A - A = 1 A = 1   e   B = - 1

Por fim, reescrevendo nossa integral vamos ter

∫ 1 u + 1 - 1 u + 2   d u

Passo 3

Finalmente, podemos lembrar que a integral da soma/subtração é a soma/subtração das integrais e, assim, podemos calcular as integrais separadamente e juntar os resultados no final

i   ∫ d u u + 1 =

u + 1 = k → d k = d u

∫ d k k = ln ⁡ k + C = ln ⁡ u + 1 + C

Retornando a variável t obteremos

ln ⁡ e t + 1 + C  

Para a segunda integral o cálculo é similar com a diferença que o número que soma, nesse caso, é o 2 .

i i     - ∫ d u u + 2 =   - ln ⁡ | e t + 2 | +   C

Resposta

ln ⁡ e t + 1 - ln ⁡ | e t + 2 | +   C

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