Calcule a integral.

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x

Passo 1

Faala ae, beleza?? Bora resolver essa integral?

Nós temos que:

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x

Então, repare que temos uma divisão de polinômios um pouco mais complexos, não daria para resolver por substituição... Vamos usar frações parciais!

Para isso, a primeira coisa aqui é achar as raízes do polinômio no denominador, para poder fatorá-lo. Logo, vamos achar as raízes de:

x 3 - 2 x 2 = 0

Beleza! Podemos colocar o x 2 em evidência, concorda? Assim:

x 2 x - 2 = 0

O fato de que x 3 - 2 x 2 = x 2 ( x - 2 ) já nos basta para seguir com o método, pois já podemos ver a fatoração do polinômio e que suas raízes são 0 (2 vezes) e 2 . Mas, caso queira fazer conta, você pode seguir esse raciocínio:

Bom, então, ou x 2 = 0 ou x - 2 = 0 . Da primeira hipótese, temos:

x 2 = 0

x = ± 0

Certo? O 0 aparece duas vezes como raiz. Da outra hipótese, temos:

x - 2 = 0

x = 2

Beleza?? De fato, x = 0 e x = 2 são as raízes, lembrando que, como x 2 = 0 , o 0 vai “aparecer duas vezes” nas raízes.

Passo 2

Ok, antes de separar em frações parciais, o ideal seria ter um numerador de grau menor que o denominador, beleza? Então, vamos manipular essa fração:

x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 = x 3 - 2 x 2 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2

= 1 - 4 x 3 - 2 x 2

Sem mais delongas, agora que temos a fatoração do polinômio no denominador, podemos aplicar frações parciais dessa forma:

4 x 3 - 2 x 2 = A x + B x 2 + C x - 2

Passo 3

Agora vamos fazer frações parciais nesse carinha aqui:

4 x 2 x + 2 = A x + B x 2 + C x - 2

Multiplicando tudo por x 2 x + 2 :

4 = A x x - 2 + B x - 2 + C x 2

4 = A x 2 - 2 A x + B x - 2 B + C x 2

Juntando em potências de x que aparecem em comum:

0 x 2 + 0 x + 4 = A + C x 2 + - 2 A + B x - 2 B

Fazendo a comparação entre os dois lados, ficamos então com o seguinte sisteminha:

A + C = 0 - 2 A + B = 0 - 2 B = 4

Da terceira equação temos que B = - 2 .

Se jogarmos esse valor na segunda equação achamos que A = - 1 e depois indo pra terceira vemos que C = 1 .

Então aquele carinha em frações parciais fica:

4 x 2 x - 2 = - 1 x - 2 x 2 + 1 x - 2

E então a nossa expressão original fica:

x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 = 1 - - 1 x - 2 x 2 + 1 x - 2

= 1 + 1 x + 2 x 2 - 1 x - 2

Passo 4

Agora temos 4 integraizinhas, bem mais simples que a original, pra resolver:

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x = ∫ 3 4 1 d x + ∫ 3 4 1 x d x + 2 ∫ 3 4 1 x 2 d x - ∫ 3 4 1 x - 2 d x

Vambora, então! Vamos resolver uma de cada vez, começando pela:

∫ 3 4 1 d x = x 3 4 = 1

Tranquila essa né? Vamos já para a próxima:

∫ 3 4 1 x d x = ln ⁡ x 3 4 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3

Usando a propriedade do logaritmo:

∫ 3 4 1 x d x = ln ⁡ 4 3

Próxima:

2 ∫ 3 4 1 x 2 d x = 2 ∫ 3 4 x - 2 d x

= - 2 1 x 3 4 = - 2 1 4 - 1 3 = - 2 3 - 4 12

= 1 6

Por último:

- ∫ 3 4 1 x - 2 d x

Fazendo u = x - 2 → d u = d x e os limites de integração passam a ser u = 3 - 2 = 1 para x = 3 e u = 4 - 2 = 2 para x = 4 . Assim:

- ∫ 1 2 1 u d u = - ln ⁡ u 1 2 = - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 1

= - ln ⁡ 2

Beleza?

Passo 5

Agora podemos juntar tudo naquela expressão que vimos no início do passo anterior:

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x = ∫ 3 4 1 d x + ∫ 3 4 1 x d x + 2 ∫ 3 4 1 x 2 d x - ∫ 3 4 1 x - 2 d x

Substituindo os valores que encontramos:

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x = 1 + ln ⁡ 4 3 + 1 6 - ln ⁡ 2

Organizando:

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x = 7 6 + ln ⁡ 4 6

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x = 7 6 + ln ⁡ 2 3

Prontinho! Acabou!

Resposta

∫ 3 4 x 3 - 2 x 2 - 4 x 3 - 2 x 2 d x = 7 6 + ln ⁡ 2 3

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