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Calcule a integral.

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar de como funciona a integração por partes:

Como escolheremos o u e o dv? Para u basta usarmos a sequência LIATE:

Quem vem primeiro? Trigonométrica ou Exponencial?

Trigonométrica, não é? Então já sabemos:

u = s e n   t - s

Para derivar u podemos usar a Regra da Cadeia, derivando a função de “dentro” vezes a função de “fora”:

d u = - cos ⁡ t - s . d s

E

d v = e s . d s

Integrando:

v = e s

Agora ficou fácil, bora substituir:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s - ∫ 0 t e s ( - cos ⁡ t - s ) . d s

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + ∫ 0 t e s cos ⁡ t - s . d s

Outra integral complicada. Sendo assim faremos novamente:

U = cos ⁡ t - s . d s →     d U = s e n   t - s . d s

E:

d V = e s . d s   →       V = e s

Substituindo:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s co s ⁡ t - s - ∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s - ∫ 0 t e s s e n   t - s . d s

Aqui já apareceu uma integral conhecida, não é? Então olhem o que vamos fazer !!

Mas antes a distributiva:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s - ∫ 0 t e s s e n   t - s . d s

Passamos a integral para o termo à direita:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s + ∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s

2 ∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s

Isolando:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s 2 | t 0

Aplicando o intervalo:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = 1 2 e t . s e n   t - t + e t cos ⁡ t - t - e 0 . s e n   t - 0 + e 0 cos ⁡ t - 0

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = 1 2 e t . s e n   0 + e t cos ⁡ 0 - s e n   t + cos ⁡ t

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = 1 2 e t - s e n   t - cos ⁡ t  

Resposta

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = 1 2 e t - s e n   t - cos ⁡ t  

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Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2   d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3   e - t 2   d t
Calcule a integral. ∫ 0 π x 3 cos ⁡ x   d x
Calcule a integral ∫ x 2 - b x s e n   2 x d x
As funções y = e x 2 e y = x 2 e x 2 não têm primitivas expressas por meio de funções elementares, mas y = 2 x 2 + 1 e x 2 tem. Calcule ∫ 2 x 2 + 1 e x 2 d x
Calcule a integral. ∫ x + sen ⁡ x 2 d x
Calcule a integral. ∫ θ tg 2 ⁡ θ d θ
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ - 1 0 t 2 e - t d t
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
Calcule a integral: ∫ r e r / 2 d r