Calcule a integral.

∫ 0 t e s s e n   t - s d s

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral aqui:

∫ 0 t e s s e n   t - s d s

Pra isso vamos usar integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Como escolheremos o u e o dv? Para u basta usarmos a sequência LIATE:

Quem vem primeiro? Trigonométrica ou Exponencial?

Trigonométrica, não é? Então já sabemos:

u = s e n   t - s

Para derivar u podemos usar a Regra da Cadeia, derivando a função de “dentro” vezes a função de “fora”:

d u = - cos ⁡ t - s . d s

E

d v = e s . d s

Integrando:

v = e s

Passo 2

Agora ficou fácil, bora substituir:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s - ∫ 0 t e s ( - cos ⁡ t - s ) . d s

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + ∫ 0 t e s cos ⁡ t - s . d s

Passo 3

Outra integral complicada. Sendo assim faremos novamente:

U = cos ⁡ t - s . d s →     d U = s e n   t - s . d s

E:

d V = e s . d s   →       V = e s

Substituindo:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s - ∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s - ∫ 0 t e s s e n   t - s . d s

Passo 4

Aqui já apareceu uma integral conhecida, não é? Então olhem o que vamos fazer !!

Mas antes a distributiva:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s - ∫ 0 t e s s e n   t - s . d s

Passamos a integral para o termo à direita:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s + ∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s

2 ∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s

Isolando:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = e s . s e n   t - s + e s cos ⁡ t - s 2 | t 0

Aplicando o intervalo:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s

= 1 2 e t . s e n   t - t + e t cos ⁡ t - t - e 0 . s e n   t - 0 + e 0 cos ⁡ t - 0

= 1 2 e t . s e n   0 + e t cos ⁡ 0 - s e n   t + cos ⁡ t

Chegamos em:

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = 1 2 e t - s e n   t - cos ⁡ t  

Resposta

∫ 0 t e s . s e n   t - s . d s = 1 2 e t - s e n   t - cos ⁡ t  

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