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Calcule a integral.

∫ 1 + e x d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma função exponencial dentro da raiz, podemos tentar fazer com que u seja essa raiz, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + e x → u 2 = 1 + e x

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u =   e x d x = u 2 - 1 d x → d x = 2 u d u u 2 - 1

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 1 + e x d x = ∫ 2 u 2 u 2 - 1 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos manipular um pouco a expressão:

∫ 2 u 2 u 2 - 1 d u = ∫ 2 + 2 u 2 - 1 d u = ∫ 2 + 1 u - 1 - 1 u + 1 d u = ∫ 2 d u + ∫ 1 u - 1 d u + ∫ - 1 u + 1 d u

Vamos calcular as três separadamente:

Com a primeira usamos:

∫ k d x = k x + C

Assim:

∫ 2 d u = 2 u + C

Com a segunda vamos fazer uma substituição:

v = u - 1

d v = d u

Assim:

∫ 1 u - 1 d u = ∫ 1 v d v

Agora é simples, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ 1 v d v = ln ⁡ v + C

A terceira é similar a segunda:

v = u + 1

d v = d u

Assim:

∫ - 1 u + 1 d u = - ∫ 1 v d v

Agora é simples, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Então ficamos com:

- ∫ 1 v d v = - ln ⁡ v + C

Passo 3

Vamos agora juntar tudo:

∫ 2 d u + ∫ 1 u - 1 d u + ∫ - 1 u + 1 d u = 2 u + ln ⁡ v - ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou:

∫ 1 + e x d x = ∫ 2 d u + ∫ 1 u - 1 d u + ∫ - 1 u + 1 d u = 2 u + ln ⁡ v - ln ⁡ v + C = 2 1 + e x + ln ⁡ u - 1 - ln ⁡ u + 1 + C = 2 1 + e x + ln ⁡ 1 + e x - 1 - ln ⁡ 1 + e x + 1 + C

Resposta

∫ 1 + e x d x = 2 1 + e x + ln ⁡ 1 + e x - 1 - ln ⁡ 1 + e x + 1 + C

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