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Calcule a integral:

∫ s 2 s d s

Passo 1

Pessoal, analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e exponencial) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui. Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = 2 s d s v =   ? u = s d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = 2 s d s v = ∫ 2 s d s = 2 s ln ⁡ 2 + C u = s d u =   1 d s

Devemos lembrar que 2 s ln ⁡ 2 ' = 2 s ⋅ ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 = 2 s . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ s ⏟ u 2 s d s ⏟ d v = s ⏟ u 2 s ln ⁡ 2 ⏟ v - ∫ 2 s ln ⁡ 2 ⏟ v 1 d s ⏟ d u

∫ s 2 s d s =   s 2 s ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ 2 ∫ 2 s d s = s 2 s ln ⁡ 2 - 1 ln ⁡ 2 2 s ln ⁡ 2 + C

∫ s 2 s d s = s 2 s ln ⁡ 2 - 2 s ln ⁡ 2 2 + C

Resposta

∫ s 2 s d s = s 2 s ln ⁡ 2 - 2 s ln ⁡ 2 2 + C

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