Enunciado

Calcule a integral.

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x

Passo 1

Sendo a nossa integral:

∫ co s 2 ⁡ 3 x d x

Podemos usar a identidade trigonométrica que diz co s 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 :

Então se x = 3 x :

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = ∫ 1 + cos ⁡ 2 . ( 3 x ) 2 d x

Retirando a constante de dentro da integral, temos:

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = 1 2 ∫ ( 1 + cos ⁡ 6 x ) d x

Podemos separar a integral em:

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = 1 2 ∫ d x + 1 2 ∫ cos ⁡ 6 x d x

Teremos:

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = 1 2 x + 1 2 ∫ cos ⁡ 6 x d x

A integral que restou, faremos integração por substituição com u d u .

Vamos chamar :

u = 6 x

d u = 6 d x

d u 6 = d x

Entãom resolvendo por meio de substituição:

∫ cos ⁡ 6 x d x = ∫ cos ⁡ u d u 6 = 1 6 sen ⁡ u + C  

Substituindo u = 6 x :

∫ cos ⁡ 6 x d x = 1 6 sen ⁡ 6 x + C

Retornando para a integral principal:

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = 1 2 x + 1 2 1 6 sen ⁡ 6 x + C

Reorganizando:

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = x 2 + 1 12 sen ⁡ 6 x + C

Resposta

∫ cos 2 ⁡ 3 x d x = x 2 + 1 12 sen ⁡ 6 x + C

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