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Calcule a integral.

∫ ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x ² d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um logaritmo tanto no denominador quanto no numerador, podemos tentar fazer com que u seja a expressão dentro da raiz do denominador que contém o logaritmo, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 1 + ln ⁡ x ²

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 ln ⁡ x 1 x     d x = 2 ln ⁡ x x d x → ln ⁡ x x d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x ² d x = ∫ d u 2 u = ∫ u - 1 2 2 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ u - 1 2 2 d u = 1 2 ∫ u - 1 2 d u = 1 2 ∙ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = 1 2 ∙ u 1 2 + C = 1 2 ∙ 2 u   + C = u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + ln ⁡ x ² :

∫ ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x ² d x = ∫ u - 1 2 2 d u = u + C = 1 + ln ⁡ x ² + C

Resposta

∫ ln ⁡ x x 1 + ln ⁡ x ² d x = 1 + ln ⁡ x ² + C

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