1. Mostre que ∫ 0 a f x d x = ∫ 0 a f a - x d x
  2. Use o item a para calcular

∫ 0 π 2 sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x   d x

Passo 1

Galera, o enunciado pede primeiro para realizar a demonstração e seguida usar a regra para calcular a integração solicitada. Então vamos lá:

∫ 0 a f a - x d x

Aqui vamos usar a regra da substituição. Então vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

Considere u = a - x

Vamos achar o diferencial de u ,   derivando:

d u = - d x

Quando x = 0   → u = a e quando x = a   →     u = 0 . Assim, temos:

- ∫ a 0 f u d u = ∫ 0 a f u d u

Que é o mesmo que a integral de ∫ 0 a f x d x

Passo 2

Agora que já realizamos a demonstração. Vamos resolver o item b. Usando o que foi demonstrado no item a. Beleza??

∫ 0 π 2 sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x   d x =   ∫ 0 π 2 sin ⁡ ( π 2 - x ) sin ⁡ π 2 - x + cos ⁡ π 2 - x   d x =   ∫ 0 π 2 sin ⁡ π 2 cos ⁡ x - cos ⁡ π 2 sin ⁡ x sin ⁡ π 2 - x - cos ⁡ π 2 sin ⁡ x + cos ⁡   π 2 cos ⁡ x + sin ⁡ π 2 sin ⁡ x     d x

= ∫ 0 π 2 cos ⁡ x   cos ⁡ x + sin ⁡ x     d x   → 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x   sin ⁡ x + cos ⁡ x

=   ∫ 0 π 2 sin ⁡ x   sin ⁡ x + cos ⁡ x   d x + ∫ 0 π 2 cos ⁡ x   cos ⁡ x + sin ⁡ x     d x

=   ∫ 0 π 2 sin ⁡ x + cos ⁡ x   sin ⁡ x + cos ⁡ x     d x =   ∫ 0 π 2 d x

= x =   π 2 → 2 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x   sin ⁡ x + cos ⁡ x     d x

= π 2   →   ∫ 0 π 2 sin ⁡ x   sin ⁡ x + cos ⁡ x     d x

=   π 4

Resposta

π 4

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