Calcule a integral ∫   t   s e n 2 t 3 2 d t

Passo 1

Perceba que não temos uma primitiva de cara para essa função. Então, vamos ter que usar alguma forma pra sair dessa. A ideia é usar substituição pra poder ficar com uma variável elevada a uma potência que é algo que a gente já sabe resolver, blz?

Então ,chame

u = 2 t 3 2 ⇒ d u = 3   t   d t     ⇒ 1 3 d u = t   d t      

Passo 2

Substituindo,

∫   t   s e n 2 t 3 2 d t = ∫     s e n u   t d t = ∫ sin ⁡ u     1 3 d u  

Passo 3

Colocando a constante para fora da integral,

∫ sin ⁡ u     1 3 d u   = 1 3   ∫ sin ⁡ u     d u  

Passo 4

Resolvendo a integral,

1 3 ∫ sin ⁡ u     d u =   - 1 3 cos ⁡ u + C = - 1 3   c o s 2 t 3 2 + C

Resposta

∫   t   s e n 2 t 3 2 d t =   - 1 3   c o s 2 t 3 2 + C

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