Calcule a integral

∫ ln ⁡ x x ln 2 ⁡ x + 1   d x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ ln ⁡ x x ln 2 ⁡ x + 1   d x

Se chamarmos u = ln 2 ⁡ x + 1 , consequentemente, d u será dado por:

d u = ln 2 ⁡ x + 1 '

d u = 2 ⋅ ln ⁡ x ⋅ [ ln ⁡ x ] '

d u = 2 ln ⁡ x x d x

Fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ ln ⁡ x x ln 2 ⁡ x + 1   d x = ∫ d u 2 u = ∫ u - 1 / 2 2 d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

∫ u - 1 / 2 2 d u = u 1 / 2 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

u 1 / 2 + k = ln 2 ⁡ x + 1 1 / 2 + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

∫ ln ⁡ x x ln 2 ⁡ x + 1   d x = ln 2 ⁡ x + 1 1 / 2 + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

∫ ln ⁡ x x ln 2 ⁡ x + 1   d x = ln 2 ⁡ x + 1 1 / 2 + k

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados