Calcule a integral

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v

Esta é uma integral definida. Vamos resolver inicialmente a integral indefinida associada a ela. Isto é,

∫ 2 e v cos ⁡ e v   d v

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = e v , consequentemente, teremos d u = e v d v . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ 2 e v cos ⁡ e v   d v = ∫ 2 cos ⁡ u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

∫ 2 cos ⁡ u   d u = 2 sen ⁡ u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

2 sen ⁡ u + k = 2 sen ⁡ e v + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Passo 4

Vamos agora resolver a integral definida através do teorema fundamental do cálculo. Portanto, temos:

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v = 2 sen ⁡ e v ln ⁡ ( π / 6 ) ln ⁡ ( π / 2 )

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v = 2 ⋅ sen ⁡ e ln ⁡ π 2 - 2 sen ⁡ e ln ⁡ π 6  

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v = 2 ⋅ sen ⁡ π 2 - 2 sen ⁡ π 6  

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v = 2 - 2 2 = 2 - 1 = 1

Resposta

∫ l n ⁡ ( π / 6 ) l n ⁡ ( π / 2 ) 2 e v cos ⁡ e v   d v = 1

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