Enunciado

Encontre a integral indefinida geral.

int x^2 sqrt(2 + x) d x

Passo 1

Vamos usar as técnicas de integração, ok? Olhando bem para a função, podemos usar substituição da seguinte forma,

u = 2 + x => d u = d x => x = u - 2

Substituindo na integral,

int x^2 sqrt(2 + x) d x = int (u - 2)^2 u^((1)/(2)) d u

Reescrevendo,

int (u - 2)^2 u^((1)/(2)) d u = int (u^2 - 4 u + 4) u^((1)/(2)) d u = int ( u^((5)/(2)) - 4 u^((3)/(2)) + 4 u^((1)/(2)) ) d u

Pela regra da potência,

int ( u^((5)/(2)) - 4 u^((3)/(2)) + 4 u^((1)/(2)) ) d u = (2)/(7) u^((7)/(2)) - (8)/(5) u^((5)/(2)) + (8)/(3) u^((3)/(2)) + C

Voltando a variável inicial,

(2)/(7) u^((7)/(2)) - (8)/(5) u^((5)/(2)) + (8)/(3) u^((3)/(2)) + C = (2)/(7) (2 + x)^((7)/(2)) - (8)/(5) (2 + x)^((5)/(2)) + (8)/(3) (2 + x)^((3)/(2)) + C

Resposta

int x^2 sqrt(2 + x) d x = (2)/(7) (2 + x)^((7)/(2)) - (8)/(5) (2 + x)^((5)/(2)) + (8)/(3) (2 + x)^((3)/(2)) + C

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