Enunciado

Calcule a integral

int_1^(oo) (ln y)/(y^3) d y

Passo 1

Integrais que apresentam oo nos limites de integração são chamadas e integrais impróprias e nesses casos devemos aplicar um limite e, para calcular a integral, faremos

int_a^(oo) f ( x ) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f ( x ) d x

Se o limite existir dizemos que a integral converge.

Passo 2

Antes de aplicarmos a fórmula dada acima, vamos resolver a integral de maneira indefinida, ou seja, vamos calcular

int (ln y)/(y^3) d y

Para esse caso, vamos aplicar o método de integração por partes que nos diz que

int u d v = u * v - int v d u

Precisamos, então, escolher uma função para derivarmos e uma para integrarmos para aplicar o método acima citado. Tomemos então,

u = ln y -> (d u)/(d y) = (1)/(y)

d v = (1)/(y^3) -> v = - (1)/(2 y^2)

Dessa forma, obteremos

int (ln y)/(y^3) d y = - (ln y)/(y^3) - int - (1)/(2 y^3) d y

int (ln y)/(y^3) d y = - (ln y)/(y^3) - (1)/(4 y^2) + C

Passo 3

Por fim, para terminarmos o problema precisamos aplicar o limite como mencionado no começo. Sendo assim,

int_1^(oo) (ln y)/(y^3) d y = underset(b -> oo)(lim) int_1^b (ln y)/(y^3) d x

underset(b -> oo)(l i m) [- (ln y)/(y^3) - (1)/(4 y^2)] (b)/(1) =

underset(b -> oo)(l i m) [- (ln b)/(b^3) - (1)/(4 b^2)] - [- (l n 1)/(1) - (1)/(4)] =

Pros elementos que estão dentro do segundo colchetes não serão afetados pelo limite quando b -> oo já o primeiro teremos uma indeterminação do tipo oo // oo que poderemos resolver aplicando a regra de L’Hôpital

underset(b -> oo)(l i m) - (ln b)/(b^3) = underset(b -> oo)(l i m) - (((1)/(x)))/(3 b^2) = 0

Portanto, no fim das contas,

int_1^(oo) (ln y)/(y^3) d y = - [- (l n 1)/(1) - (1)/(4)] = (1)/(4)

Resposta

(1)/(4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.31 . int_1^5 (M)/(e^M) d M
Calcule a integral. 33 .∫ 0 π 3 sin ⁡ x ln ⁡ cos ⁡ x d x
Primeiro faça uma substituição e depois use a integração por partes para avaliar a integral. 38 .∫ cos ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) d x
Resolva a integral.int y e^(0,2 y) d y
Resolva a integral usando integração por partes com a indicação das escolhas de ued v . ∫ x e 2 x d x ; u = x ,d v = e 2 x d x