Calcule a integral

∫ 1 ∞ ln ⁡ y y 3 d y

Passo 1

Integrais que apresentam nos limites de integração são chamadas e integrais impróprias e nesses casos devemos aplicar um limite e, para calcular a integral, faremos

∫ a ∞ f ( x )   d x =   lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f ( x )   d x

Se o limite existir dizemos que a integral converge.

Passo 2

Antes de aplicarmos a fórmula dada acima, vamos resolver a integral de maneira indefinida, ou seja, vamos calcular

∫ ln ⁡ y y 3   d y

Para esse caso, vamos aplicar o método de integração por partes que nos diz que

∫ u   d v = u ⋅ v - ∫ v   d u

Precisamos, então, escolher uma função para derivarmos e uma para integrarmos para aplicar o método acima citado. Tomemos então,

u = ln ⁡ y   → d u d y = 1 y

d v = 1 y 3 → v =   - 1 2 y 2

Dessa forma, obteremos

∫ ln ⁡ y y 3   d y = - ln ⁡ y y 3 - ∫ - 1 2 y 3 d y

∫ ln ⁡ y y 3   d y = - ln ⁡ y y 3 - 1 4 y 2 + C

Passo 3

Por fim, para terminarmos o problema precisamos aplicar o limite como mencionado no começo. Sendo assim,

∫ 1 ∞ ln ⁡ y y 3 d y =   lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b ln ⁡ y y 3   d x

l i m b → ∞   - ln ⁡ y y 3 - 1 4 y 2   b 1 =

l i m b → ∞ - ln ⁡ b b 3 - 1 4 b 2 - - l n 1 1 - 1 4   =  

Pros elementos que estão dentro do segundo colchetes não serão afetados pelo limite quando b → ∞ já o primeiro teremos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ que poderemos resolver aplicando a regra de L’Hôpital

l i m b → ∞   - ln ⁡ b b 3 =   l i m b → ∞ - 1 x 3 b 2 =   0

Portanto, no fim das contas,

∫ 1 ∞ ln ⁡ y y 3 d y =   - - l n 1 1 - 1 4   = 1 4

Resposta

1 4

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