Calcule a integral

∫ d x 1 + e x

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ d x 1 + e x

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = 1 + e x , consequentemente, teremos d u = e x d x . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ d x 1 + e x = ∫ 1 u ⋅ 1 e x d u

Eita, ainda temos e x na nossa função, mesmo após fazermos uma mudança de variáveis. Precisamos transformá-lo em alguma função de u . Para isto, vamos utilizar a mudança de variáveis que fizemos. Se u = 1 + e x , então e x = u - 1 . Portanto, temos:

∫ 1 u ⋅ 1 u - 1 d u

Passo 3

Agora surge um questionamento. Como vamos resolver esta integral? Se ao invés de um produto tivéssemos uma soma, isto é:

1 u ⋅ 1 u - 1 = 1 u + 1 u - 1

Ai sim a gente conseguiria integrar facilmente! Mas, infelizmente, o que fizemos está errado. Mas espera aí. Se ao invés de ter colocando 1 no numerador dos dois termos, colocássemos coeficientes genéricos? Isto é:

1 u ⋅ 1 u - 1 = A u + B u - 1

Será se agora é possível? Será se existem A e B que satisfazem essa relação? Para descobrir, temos que desenvolver o segundo membro da equação. Façamos isto então!

1 u u - 1 = A u - 1 + B u u ( u - 1 )

1 u u - 1 = A + B u - A u ( u - 1 )

O numerador do primeiro membro tem que ser igual ao do segundo. Sendo assim, temos um sistema de equação com 2 equações e 2 incógnitas para resolver.

A + B = 0 - A = 1

Resolvendo este sistema, obtemos A = - 1 e B = 1 . Se substituirmos estes valores naquela relação lá em cima, vamos poder mudar o produto em uma soma, e assim resolver a integral! Vejamos então essa mudança.

∫ 1 u ⋅ 1 u - 1 d u = ∫ - 1 u + 1 u - 1 d u

∫ 1 u ⋅ 1 u - 1 d u = - ∫ d u u + ∫ d u u - 1

Agora sim chegamos em duas integrais que conseguimos calcular facilmente!

OBS: O método desenvolvido nesta questão é chamado frações parciais. Ele será estudado em um capítulo mais adiante

Passo 4

Agora, vamos finalmente resolver a nossa integral.

- ∫ d u u + ∫ d u u - 1 = - ln ⁡ u + ln ⁡ u - 1 + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- ln ⁡ u + ln ⁡ u - 1 + k = - ln ⁡ 1 + e x + ln ⁡ e x + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

∫ d x 1 + e x = - ln ⁡ 1 + e x + x + k

OBS: não podemos esquecer da constante de integração k , pois estamos tratando de uma integral indefinida!

Resposta

∫ d x 1 + e x = - ln ⁡ 1 + e x + x + k

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