Enunciado

Calcule a integral

int (d x)/(1 + e^x)

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

int (d x)/(1 + e^x)

Façamos uma mudança de variável. Se chamarmos u = 1 + e^x , consequentemente, teremos d u = e^x d x . Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

int (d x)/(1 + e^x) = int (1)/(u) * (1)/(e^x) d u

Eita, ainda temos e^x na nossa função, mesmo após fazermos uma mudança de variáveis. Precisamos transformá-lo em alguma função de u . Para isto, vamos utilizar a mudança de variáveis que fizemos. Se u = 1 + e^x , então e^x = u - 1 . Portanto, temos:

int (1)/(u) * (1)/((u - 1)) d u

Passo 3

Agora surge um questionamento. Como vamos resolver esta integral? Se ao invés de um produto tivéssemos uma soma, isto é:

(1)/(u) * (1)/(u - 1) = (1)/(u) + (1)/(u - 1)

Ai sim a gente conseguiria integrar facilmente! Mas, infelizmente, o que fizemos está errado. Mas espera aí. Se ao invés de ter colocando 1 no numerador dos dois termos, colocássemos coeficientes genéricos? Isto é:

(1)/(u) * (1)/(u - 1) = (A)/(u) + (B)/(u - 1)

Será se agora é possível? Será se existem A e B que satisfazem essa relação? Para descobrir, temos que desenvolver o segundo membro da equação. Façamos isto então!

(1)/(u (u - 1)) = (A (u - 1) + B u)/(u ( u - 1 ))

(1)/(u (u - 1)) = ((A + B) u - A)/(u ( u - 1 ))

O numerador do primeiro membro tem que ser igual ao do segundo. Sendo assim, temos um sistema de equação com 2 equações e 2 incógnitas para resolver.

{[[A + B = 0],[- A = 1]])

Resolvendo este sistema, obtemos A = - 1 e B = 1 . Se substituirmos estes valores naquela relação lá em cima, vamos poder mudar o produto em uma soma, e assim resolver a integral! Vejamos então essa mudança.

int (1)/(u) * (1)/((u - 1)) d u = int [- (1)/(u) + (1)/(u - 1)] d u

int (1)/(u) * (1)/((u - 1)) d u = - int (d u)/(u) + int (d u)/(u - 1)

Agora sim chegamos em duas integrais que conseguimos calcular facilmente!

OBS: O método desenvolvido nesta questão é chamado frações parciais. Ele será estudado em um capítulo mais adiante

Passo 4

Agora, vamos finalmente resolver a nossa integral.

- int (d u)/(u) + int (d u)/(u - 1) = - ln |u| + ln |u - 1| + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- ln |u| + ln |u - 1| + k = - ln |1 + e^x| + ln |e^x| + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

int (d x)/(1 + e^x) = - ln |1 + e^x| + x + k

OBS: não podemos esquecer da constante de integração k , pois estamos tratando de uma integral indefinida!

Resposta

int (d x)/(1 + e^x) = - ln |1 + e^x| + x + k

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