Calcule a integral

∫ e cos sec ⁡ π + t cos sec ⁡ π + t co tg ⁡ π + t   d t

Passo 1

Questões como esta, que pede apenas para resolvermos uma integral, começam a se tornar complexas. Vamos colocar todos os conhecimentos aprendidos em prática. Podemos calcular integrais definidas, indefinidas, utilizar regra da substituição, etc. Desta forma, é importante termos um domínio dos assuntos prévios. Sempre que necessário, revisaremos quaisquer conceitos!

Passo 2

Vamos começar por analisar a integral que devemos resolver. Vejamos ela abaixo.

∫ e cos sec ⁡ π + t cos sec ⁡ π + t co tg ⁡ π + t   d t

Se chamarmos u = cos sec ⁡ π + t , consequentemente, teremos

d u = - cos sec ⁡ π + t ⋅ co tg ⁡ π + t d t

Portanto, fazendo esta substituição na integral, obtemos:

∫ e cos sec ⁡ π + t cos sec ⁡ π + t co tg ⁡ π + t   d t = ∫ - e u   d u

E agora chegamos a uma função facilmente integrável!

Passo 3

Resolvendo a nossa integral, temos:

∫ - e u   d u = - e u + k

Voltando para a variável inicial, temos:

- e u + k = - e cossec ⁡ π + t + k

Portanto, a solução do nosso problema é:

∫ e cossec ⁡ π + t cossec ⁡ π + t cotg ⁡ π + t   d t = - e cossec ⁡ π + t + k

OBS: Cuidado para não esquecerem da constante k , pois estamos resolvendo uma integral indefinida!

Resposta

∫ e cossec ⁡ π + t cossec ⁡ π + t cotg ⁡ π + t   d t = - e cossec ⁡ π + t + k

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