Calcule a integral:

∫ c o t g h   θ 3 d θ  

Passo 1

Vamos fazer a substituição simples: u = θ 3   d u = 1 3 d x → 3 d u = d x ...

Aí reescrevemos como:

∫ c o t g h   u   3 d u = 3 ∫ c o t g h   u   d u = 3   ∫ cosh ⁡ u s e n h   u d u

Agora integramos a função em u   , vamos fazer outra substituição pra ficar melhor:

y = s e n h   u → d y = cosh ⁡ u

3   ∫ cosh ⁡ u s e n h   u d u = 3   ∫ d y y = 3 ln ⁡ y + C

Voltamos pra u e depois para x :

3 ln ⁡ y + C = 3 ln ⁡ | s e n h   u | = 3 ln ⁡ | s e n h θ 3 | + C

Sabendo que s e n h   t =   e t - e - t 2 fazemos:

3 ln ⁡ | e θ 3 - e - θ 3   2 + C =   3 ln ⁡ | e θ 3 - e - θ 3 | - 3 ln ⁡ 2 + C

Resposta

3 ln ⁡ | e θ 3 - e - θ 3 | - 3 ln ⁡ 2 + C

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