Calcule a integral.

∫ 0 4 6 z + 5 2 z + 1     d z

Passo 1

Para a resolução dessa questão, vamos facilitar a nossa vida né? Pensa aí no que podemos fazer...

Pensou? Parece que não tem nada né, não dá pra aplicar nenhum método ou achar uma integral pronta ... Mas é claro! Por que tá implícito, algumas coisas são invisíveis aos nossos olhos hehe

Olha só, vamos reorganizar os termos, dá pra fazer com que o denominador apareça no numerador, assim:

∫ 0 4 6 z + 2 + 3 2 z + 1     d z

∫ 0 4 ( 6 z + 3 ) + 2 2 z + 1     d z

Te liga aí nessa mágica agora!!

∫ 0 4 3 2 z + 1 + 2 2 z + 1     d z

Tcharãmm!!! Agora separamos os termos:

∫ 0 4 3 2 z + 1 2 z + 1   + 2 2 z + 1     d z

Eliminamos o 2 z + 1 na primeira divisão,

∫ 0 4 3 + 2 2 z + 1     d z

Agora é só integrar!!

Passo 2

Para a segunda divisão com 2 2 z + 1   , aplicaremos o método da substituição. Chamamos u = 2 z + 1 e d u = 2 d z . Temos:

∫ 0 4 3 d z + ∫ 0 4 2 2 z + 1     d z

∫ 0 4 3 d z + ∫ 0 4 1 u     d u

Sabendo que ∫ 1 u d u = ln ⁡ u :

∫ 0 4 3 d z + ln ⁡ ( 2 z + 1 ) 0 4

∫ 0 4 3 + 2 2 z + 1     d z = 3 z + ln ⁡ 2 z + 1 0 4

= 3 × 4 + ln ⁡ 2 ( 4 ) + 1 - 3 × 0 + ln ⁡ 2 0 + 1

∫ 0 4 6 z + 5 2 z + 1     d z = 12 + 2 ln ⁡ 3

Resposta

∫ 0 4 6 z + 5 2 z + 1     d z = 12 + 2 ln ⁡ 3

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