Calcule a integral:

∫ 2 4 ( 1 + ln ⁡ t ) ln ⁡ t     d t

Passo 1

Galera, para realizar essa integração vamos utilizar o método da integração por partes, beleza?

∫ u d v = u v -   ∫ v d u

Então, vamos chamar:

u = 1 + ln ⁡ t     → d u = 1 t d t

d v = ln ⁡ t   → v = t ln ⁡ t - t  

Substituindo, temos:

= ( 1 + ln ⁡ t ) t l n   t - t - ∫ 1 t (   t ln ⁡ t - t )   d t

= ( 1 + ln ⁡ t   )   (   t ln ⁡ t - t ) -   ∫ ln ⁡ t - 1   d t

= ( 1 + ln ⁡ t ) ( t ln ⁡ t - t ) - ( t ln ⁡ t - 2 t )  

= - t + t ln 2 ⁡ t - t ln ⁡ t + 2 t

= t + x ln 2 ⁡ t - t ln ⁡ t   | 4 2

= 4 + 4 ln 2 ⁡ 4 - 4 ln ⁡ 4 - (   2 + 2 ln 2 ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 2   )

= 4 + 16 ln 2 ⁡ 2 - 8 ln ⁡ 2 - 2 - 2 ln 2 ⁡ + 2 ln ⁡ 2

= 14 ln 2 ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 2 + 2

Resposta

14 ln 2 ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 2 + 2

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