Enunciado

Calcule a integral.

int_1^2 ((x - 1)^3)/(x^2) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

int_1^2 ((x - 1)^3)/(x^2) d x

Parece complicado?

Para resolver essa integral vamos tentar analisar o numerador e denominador, da pra ver que temos uma expressão de grau 2 no denominador, e uma de grau 3 no numerador.

Vamos então destrinchar o numerador e ver se conseguimos fazer o denominador desaparecer.

Dessa forma, podemos fransformar nossa função em um polinômio, que é bem mais fácil de ser calculado.

Veja só!

Passo 2

Vamos pegar só a função e destrinchar ela:

((x - 1)^3)/(x^2) = (x^3 - 1^3 - 3 . x . 1 (x - 1))/(x^2)

((x - 1)^3)/(x^2) = (x^3 - 1 - 3 x^2 + 3 x)/(x^2)

((x - 1)^3)/(x^2) = x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x)

Perfeito, vamos substituir de volta na integral então:

int_1^2 ((x - 1)^3)/(x^2) d x = int_1^2 x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x

Vamos usar algumas propriedades, como a da soma, sabemos que:

int x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x = int x d x + int - (1)/(x^2) d x + int - 3 d x + int (3)/(x) d x

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando quatro expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int k d x = k x + C

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

int x d x = (x^(1 + 1))/(1 + 1) = (x^2)/(2) + C

int - x^(- 2) d x = - 1 int x^(- 2) d x = - 1 ((x^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) = (- x^(- 1))/(- 2 + 1) = (- x^(- 1))/(- 1) = (1)/(x) + C

int - 3 d x = - 1 int 3 d x = - 3 x + C

int (3)/(x) d x = 3 int (1)/(x) d x = 3 ln |x| + C

Show?

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_1^2 x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x = ((x^2)/(2) + (1)/(x) - 3 x + 3 ln |x|)_1^2

int_1^2 x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x = (2^2)/(2) + (1)/(2) - 3.2 + 3 ln 2 - ((1^2)/(2) + (1)/(1) - 3.1 + 3 ln 1)

int_1^2 x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x = 2 + (1)/(2) - 6 + 3 ln 2 - ((1)/(2) + 1 - 3 + 3.0)

Simplificando...

int_1^2 x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x = - 2 + 3 ln 2

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

int_1^2 x - (1)/(x^2) - 3 + (3)/(x) d x = - 2 + 3 ln 2

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