Enunciado

Calcule a integral

int_1^9 (3 x - 2)/(sqrt(x)) . d x

Passo 1

Bom, vamos ter que resolver esta integral, mas antes vamos reorganizar os termos, ok?

int_1^9 (3 x - 2)/(sqrt(x)) . d x = int_1^9 ((3 x)/(sqrt(x)) - (2)/(sqrt(x))) . d x = int_1^9 (3 . x^((1)/(2)) - 2 x^(- (1)/(2))) . d x

De acordo com a propriedade 4, ok?!

int_1^9 (3 . x^((1)/(2)) - 2 x^(- (1)/(2))) . d x = int_1^9 3 . x^((1)/(2)) . d x - int_1^9 2 x^(- (1)/(2)) . d x

Usando a propriedade 3:

As constantes podem sair da integral:

= 3 int_1^9 x^((1)/(2)) . d x - 2 int_1^9 x^(- (1)/(2)) . d x

Já sabemos que:

int_1^9 x^((1)/(2)) . d x = (x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) | [[9],[1]]

int_1^9 x^(- (1)/(2)) . d x = (x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) | [[9],[1]]

Então:

= 3 . (x^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) | [[9],[1]] - 2 . (x^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1) | [[9],[1]]

Reorganizando:

= 3 . (x^((3)/(2)))/((3)/(2)) | [[9],[1]] - 2 . (x^((1)/(2)))/((1)/(2)) | [[9],[1]]

= 3 . (2)/(3) x^((3)/(2)) | [[9],[1]] - (2 . 2)/(1) x^((1)/(2)) | [[9],[1]]

= 2 x^((3)/(2)) | [[9],[1]] - 4 x^((1)/(2)) | [[9],[1]]

No intervalo:

= 2 (9^((3)/(2)) - 1^((3)/(2))) - 4 ( 9^((1)/(2)) - 1^((1)/(2)) )

= 2 (27 - 1) - 4 ( 3 - 1 )

= 52 - 8 = 44

Então

int_1^9 (3 x - 2)/(sqrt(x)) . d x = 44

Resposta

int_1^9 (3 x - 2)/(sqrt(x)) . d x = 44

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