Calcule a integral

∫ c s c x d x  

Passo 1

As integrais trigonométricas são um pouco assustadoras, mas não há nada que treino não ajude a melhorar, vamos treinar resolvendo essa integral. Vamos fazer o seguinte, vamos multiplicar toda a integral pelo fator

csc ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x

Daí, ficamos com

∫ csc ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x = ∫ - csc ⁡ x cot ⁡ x + csc 2 ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x

Agora, podemos resolver pelo método da substituição

Seja u = csc ⁡ x - cot ⁡ x , temos que d u = - csc ⁡ x cot ⁡ x - - csc 2 ⁡ x . Substituindo

∫ - csc ⁡ x cot ⁡ x + csc 2 ⁡ x csc ⁡ x - cot ⁡ x d x = ∫ d u u = ln ⁡ u + c = ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + c

Não se torture pensando “eu nunca conseguiria fazer isso sozinho”, basta praticar e estamos aqui pra ajudar :)

Resposta

∫ c s c x d x = ln ⁡ csc ⁡ x - cot ⁡ x + c

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