Calcule a integral

∫ 0 2 x 3 x 2 + 4   d x

Passo 1

Estas integrais são trabalhosas e você sempre vai precisar pensar, mas com MUITA prática você consegue e vai ver que vai conseguir pensar nas substituições só de bater o olho na integral. Agora chega de papinho e vamos la.

Sugiro o seguinte, vamos dizer que

x = 2 tan ⁡ θ

Se diferenciarmos, ficamos com

d x = 2 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ

Tudo beleza?! Então vamos calcular os novos limites de integração

θ i n f e r i o r : 2 tan ⁡ θ = 0 ∴ θ = 0

θ s u p e r i o r : 2 tan ⁡ θ = 2 ∴   θ = π 4

Então, agora vamos substituir isto na nossa integral

∫ 0 2 x 3 x 2 + 4   d x = ∫ 0 π 4 8 tan 3 ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ + 4 ⋅ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = 16 ∫ 0 π 4 tan 3 ⁡ ( θ ) 4 tan 2 ⁡ θ + 1 ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ

Ta lembrado daquela propriedade trigonométrica: tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ ( θ ) ?! Vamos usá-la, então, substituindo

∫ 0 2 x 3 x 2 + 4   d x = 16 ∫ 0 π 4 tan 3 ⁡ ( θ ) 4 tan 2 ⁡ θ + 1 ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ = 16 ∫ 0 π 4 tan 3 ⁡ ( θ ) 4 sec 2 ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ = 32 ∫ 0 π 4 tan 3 ⁡ ( θ ) ⋅ sec ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ d θ = 32 ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ ( θ ) ⋅ sec ⁡ θ ⋅ sec 2 ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ = 32 ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) ⋅ sec 2 ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Vamos resolver a integral pelo método da substituição

Seja u = sec ⁡ θ , temos que d u = sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ . Calculando os novos limites de integração temos

u i n f e r i o r = sec ⁡ 0 = 1

u s u p e r i o r = sec ⁡ π 4 = 2

Então

32 ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) ⋅ sec 2 ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ ⋅ tan ⁡ θ d θ = 32 ∫ 1 2 u 2 - 1 u 2 d u = 32 ∫ 1 2 u 4 - u 2 d u = 32 1 5 u 5 - 1 3 u 3 1 2 = 32 1 5 ⋅ 4 2 - 1 3 ⋅ 2 2 - 1 5 - 1 3 = 32 2 15 2 + 2 15 = 64 15 2 + 1

Resposta

∫ 0 2 x 3 x 2 + 4   d x = 64 15 2 + 1

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