Enunciado

Calcule a integral.

int (d x)/((1 - x ²)^((3)/(2)))

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos no denominador um formato que é possível usar uma das formas da Tabela de Substituição Trigonométrica, com a seguinte cara sqrt(a^2 - x^2) , então vamos ter a substituição:

x = a sen theta = 1 * sen theta = sen theta

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = cos theta d theta

Fazendo a substituição ficamos com:

int (d x)/((1 - x ²)^((3)/(2))) = int (cos theta)/((1 - sen theta ²)^((3)/(2))) d theta

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos simplificar um pouco, dá para usar a identidade trigonométrica:

sen^2 x + cos^2 x = 1 -> 1 - sen^2 x = cos^2 x

Assim:

int (cos theta)/((1 - sen theta ²)^((3)/(2))) d theta = int (cos theta)/((cos^2 theta)^((3)/(2))) d theta = int (cos theta)/(cos^3 theta) d theta = int (1)/(cos^2 theta) d theta

Aqui vamos ter a sacada que (1)/(cos theta) lembra algo, não? É equivalente a secante, vamos substituir então:

int (1)/(cos^2 theta) d theta = int sec^2 theta d theta

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec^2 x d x = tg x + C

Então ficamos com:

int sec^2 theta d theta = tg theta + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , aqui vamos usar o que sabemos sobre a tangente, sabemos que tg theta = (sen theta)/(cos theta) , temos lá da substituição que x = sen theta , e com o cosseno podemos substituir usando a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 -> cos theta = sqrt(1 - sen^2 theta) :

int (d x)/((1 - x ²)^((3)/(2))) = int sec^2 theta d theta = tg theta + C = (sen theta)/(cos theta) + C = (x)/(sqrt(1 - sen^2 theta)) + C = (x)/(sqrt(1 - x^2)) + C

Resposta

int (d x)/((1 - x ²)^((3)/(2))) = (x)/(sqrt(1 - x^2)) + C

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