Calcule a integral.

∫ d x 1 - x ² 3 2

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos no denominador um formato que é possível usar uma das formas da Tabela de Substituição Trigonométrica, com a seguinte cara a 2 - x 2 , então vamos ter a substituição:

x = a sen ⁡ θ = 1 ∙ sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = cos ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ d x 1 - x ² 3 2 = ∫ cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ ² 3 2 d θ

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos simplificar um pouco, dá para usar a identidade trigonométrica:

sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 → 1 - sen 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x

Assim:

∫ cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ ² 3 2 d θ = ∫ cos ⁡ θ cos 2 ⁡ θ 3 2 d θ = ∫ cos ⁡ θ cos 3 ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos 2 ⁡ θ d θ

Aqui vamos ter a sacada que 1 cos  ⁡ θ lembra algo, não? É equivalente a secante, vamos substituir então:

∫ 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec 2 ⁡ x d x = tg ⁡ x + C

Então ficamos com:

∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , aqui vamos usar o que sabemos sobre a tangente, sabemos que tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ , temos lá da substituição que x = sen ⁡ θ , e com o cosseno podemos substituir usando a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 → cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ :

∫ d x 1 - x ² 3 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = tg ⁡ θ + C = sen ⁡ θ cos ⁡ θ + C = x 1 - sen 2 ⁡ θ + C = x 1 - x 2 + C

Resposta

∫ d x 1 - x ² 3 2 = x 1 - x 2 + C

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