Enunciado

Calcule a integral.

int_0^4 (x - 1)/(x ² - 4 x - 5) d x

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, vamos achar as raízes do denominador, assim:

int (x - 1)/(x ² - 4 x - 5) d x = int (x - 1)/((x + 1) (x - 5)) d x

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais. Como temos duas raízes distintas, a expressão fica assim:

(x - 1)/((x + 1) (x - 5)) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 5)

Passo 2

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x + 1) (x - 5) :

x - 1 = A (x - 5) + B (x + 1)

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

x - 1 = A (x - 5) + B (x + 1) = A x - 5 A + B x + B = x (A + B) + (- 5 A + B)

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B = 1],[- 5 A + B = - 1]])

Isolando B na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

{[[B = - A + 1],[- 5 A + (- A + 1) = - 1 -> A = (1)/(3)]])

B = (2)/(3)

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x - 1)/(x ² - 4 x - 5) d x = int ((1)/(3))/(x + 1) + ((2)/(3))/(x - 5) d x = int (1)/(3 (x + 1)) + (2)/(3 (x - 5)) d x = int (1)/(3 (x + 1)) d x + int (2)/(3 (x - 5)) d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x no denominador e uma constante no numerador nas duas integrais, vamos resolver as duas separadamente:

Podemos então usar a mudança de variável para a primeira:

u = x + 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0 d x = d x

Vamos agora fazer a substituição:

int (1)/(3 (x + 1)) d x = int (1)/(3 u) d u

Para a segunda temos:

v = x - 5

Derivando:

d v = 1 - 0 d x = d x

Substituindo temos:

int (2)/(3 (x - 5)) d x = int (2)/(3 v) d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(3 (x + 1)) d x + int (2)/(3 (x - 5)) d x = int (1)/(3 u) d u + int (2)/(3 v) d v = (1)/(3) int (1)/(u) d u + (2)/(3) int (1)/(v) d v = (1)/(3) ln |u| + (2)/(3) ln |v| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x + 1 e v = x - 5 :

int (1)/(3 (x + 1)) d x + int (2)/(3 (x - 5)) d x = (1)/(3) ln |x + 1| + (2)/(3) ln |x - 5| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^4 (1)/(3 (x + 1)) d x + int_0^4 (2)/(3 (x - 5)) d x = (1)/(3) (ln |x + 1|)_0^4 + (2)/(3) (ln |x - 5|)_0^4 = (ln |4 + 1| - ln |0 + 1|) + (ln |4 - 5| - ln |0 - 5|) = (ln 5)/(3) - (2 ln 5)/(3) = - (1 ln 5)/(3)

Resposta

int_0^4 (x - 1)/(x ² - 4 x - 5) d x = - (1 ln 5)/(3)

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