Calcule a integral.

∫ 3 x 2 - 2 x 2 - 2 x - 8 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, vamos achar as raízes do denominador, assim:

∫ 3 x 2 - 2 x 2 - 2 x - 8 d x = ∫ 3 x 2 - 2 x - 4 x + 2 d x

Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais, mas antes vamos manipular um pouco a expressão:

∫ 3 x 2 - 2 x - 4 x + 2 d x = ∫ 3 + 6 x + 22 x - 4 x + 2 d x = ∫ 3 d x + ∫ 6 x + 22 x - 4 x + 2 d x

Passo 2

A primeira integral é simples de achar, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Assim:

∫ 3 d x = 3 x + C

A segunda vamos por Frações Parciais, como temos duas raízes distintas, a expressão fica assim:

6 x + 22 x - 4 x + 2 = A x - 4 + B x + 2

Passo 3

Vamos achar os valores de A e B , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x - 4 x + 2 :

6 x + 22 = A x + 2 + B x - 4

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

6 x + 22 = A x + 2 + B x - 4 = A x + 2 A + B x - 4 B = x A + B + 2 A - 4 B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

A + B = 6 2 A - 4 B = 22

Isolando B na primeira e substituindo na segunda, ficamos com:

B = 6 - A 2 A - 4 6 - A = 22 → A = 23 3

B = 6 - 2 3 3 = - 5 3

Pronto, achamos os valores de A e B , vamos agora substituir de volta na integral:

∫ 6 x + 22 x - 4 x + 2 d x = ∫ 23 3 x - 4 + - 5 3 x + 2 d x = ∫ 23 3 x - 4 - 5 3 x + 2 d x = ∫ 23 3 x - 4 d x + ∫ - 5 3 x + 2 d x

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 4

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador e uma constante no numerador nas duas integrais, vamos resolver as duas separadamente:

Podemos então usar a mudança de variável para a primeira:

u = x - 4

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 + 0   d x = d x

Vamos agora fazer a substituição:

∫ 23 3 x - 4 d x = ∫ 23 3 u d u

Para a segunda temos:

v = x + 2

Derivando:

d v = 1 - 0   d x = d x

Substituindo temos:

∫ - 5 3 x + 2 d x = ∫ - 5 3 v d v

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 5

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ 6 x + 22 x - 4 x + 2 = ∫ 23 3 x - 4 d x + ∫ - 5 3 x + 2 d x = ∫ 23 3 u d u + ∫ - 5 3 v d v = 23 3 ∫ 1 u d u - 5 ∫ 1 v d v = 23 3 ln ⁡ u - 5 3 ln ⁡ v + C

Juntando agora:

∫ 3 x 2 - 2 x - 4 x + 2 d x = ∫ 3 d x + ∫ 6 x + 22 x - 4 x + 2 d x = 3 x + 23 3 ln ⁡ u - 5 3 ln ⁡ v + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = x - 4 e v = x + 2 :

∫ 3 x 2 - 2 x - 4 x + 2 d x = 3 x + 23 3 ln ⁡ u - 5 3 ln ⁡ v + C = 3 x + 23 3 ln ⁡ x - 4   - 5 3 ln ⁡ x + 2 + C

Resposta

∫ 3 x 2 - 2 x - 4 x + 2 d x = 3 x + 23 3 ln ⁡ x - 4   - 5 3 ln ⁡ x + 2 + C

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