Enunciado

Calcule a integral.

int_0^5 (3 w - 1)/(w + 2) d w

Passo 1

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

int (3 w - 1)/(w + 2) d w

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos destrinchar um pouco a expressão:

int (3 w - 1)/(w + 2) d w = int 3 - (7)/(w + 2) d w = int 3 d w + int - (7)/(w + 2) d w

Vamos calcular as duas integrais separadamente, para ficar mais simples de acompanhar.

Passo 2

É fácil achar a primitiva da função da primeira integral, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

Então ficamos com:

int 3 d w = 3 w + C

Com a segunda vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do denominador, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = w + 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u = d w

Fazendo a substituição ficamos com:

int - (7)/(w + 2) d w = int - (7)/(u) d u

É fácil achar a primitiva da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Ficamos então com:

int - (7)/(u) d u = - 7 int (1)/(u) d u = - 7 ln |u| + C

Passo 3

Vamos juntar as duas agora:

int (3 w - 1)/(w + 2) d w = int 3 d w + int - (7)/(w + 2) d w = 3 w - 7 ln |u| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável w , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = w + 2 :

int (3 w - 1)/(w + 2) d w = 3 w - 7 ln |u| + C = 3 w - 7 ln |w + 2| + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Vamos lá:

int_0^5 (3 w - 1)/(w + 2) d w = (3 w - 7 ln |w + 2|)_0^5 = 3 . 5 - 7 ln |5 + 2| - (3 . 0 - 7 ln |0 + 2|) = 15 - 7 ln 7 + 7 ln 2

Resposta

int_0^5 (3 w - 1)/(w + 2) d w = 15 - 7 ln 7 + 7 ln 2

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