4. Calcule

f)

∫ x - 1 2 x + 1 d x

Passo 1

Queremos calcular o seguinte:

I = ∫ x - 1 2 x + 1 d x

Como esse denominador ta bem feio, vamos chamar ele de u olha só:

u = 2 x + 1

Isolando o x , temos:

u 2 = 2 x + 1 → x = u 2 - 1 2

Derivando para achar o d x em fnção do d u :

2 u   d u = 2 d x

Logo,

d x = u d u

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ x - 1 2 x + 1 d x

E vai ficar o seguinte:

I = ∫ u 2 - 1 2 - 1 u u d u

Arrumando as coisas:

I = ∫ u 2 2 - 3 2 d u

Separando em dois termos:

I = ∫ u 2 2 d u + ∫ - 3 2 d u

Tirando as constantes da integral:

I = 1 2 ∫ u 2 d u - 3 2 ∫ d u

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 3

Resolvendo a integral com o lembrete ali de cima:

I = 1 2 × u 2 + 1 2 + 1 - 3 2 × u + k

Logo,

I = 1 6 u 3 - 3 2 u + k

Voltando para variável x :

u = 2 x + 1

Portanto,

I = 1 6 ( 2 x + 1 ) 3 / 2 - 3 2 2 x + 1 1 / 2 + k

Resposta

∫ x - 1 2 x + 1 d x = 1 6 ( 2 x + 1 ) 3 / 2 - 3 2 2 x + 1 1 / 2 + k

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