h) ∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ 4 x d x  

Passo 1

Essa questão vai tem que ser feita com calma para você não ir para o caminho errado!!

Lá da trigonometria, a gente sabe o seguinte:

cos ⁡ 2 x = 2 ⋅ cos 2 ⁡ x - 1

Isolando cos 2 ⁡ ( x ) :

cos 2 ⁡ x = cos ⁡ 2 x + 1 2

Viu que podemos transformar o cos 2 ⁡ 4 x numa coisa melhor de integrar?!

Passo 2

Usando essa ideia aí de cima, temos:

E = cos ⁡ x ⋅ cos 2 ⁡ 4 x = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ 2 ⋅ 4 x + 1 2 = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ 8 x + 1 2

Fazendo a distributiva:

E = cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ 8 x 2 + cos ⁡ x 2

Podemos transformar esse primeiro termo de produto em soma, olha só:

Lembrete:   c o s a ⋅ c o s b = 1 2 ⋅ c o s a + b + c o s a - b

cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ 8 x = 1 2 ⋅ cos ⁡ 9 x + cos ⁡ - 7 x = 1 2 ⋅ ( cos ⁡ 9 x + cos ⁡ 7 x )

Então nossa expressão fica assim:

E = 1 2 ⋅ ( cos ⁡ 9 x + cos ⁡ 7 x ) 2 + cos ⁡ x 2 = 1 4 ⋅ cos ⁡ 9 x + 1 4 ⋅ cos ⁡ 7 x + 1 2 ⋅ cos ⁡ x

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora bora finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ cos ⁡ x cos 2 ⁡ 4 x d x

E vai ficar assim:

I = ∫ 1 4 ⋅ cos ⁡ 9 x + 1 4 ⋅ cos ⁡ 7 x + 1 2 ⋅ cos ⁡ x d x

Isto é,

I = 1 4 ⋅ ∫ cos ⁡ 9 x d x + 1 4 ⋅ ∫ cos ⁡ 7 x d x + 1 2 ⋅ ∫ cos ⁡ x d x

Integrando:

I = 1 4 ⋅ s e n 9 x 9 + 1 4 ⋅ s e n 7 x 7 + 1 2 ⋅ s e n ( x ) + c

Logo,

I = s e n 9 x 36 + s e n 7 x 28 + s e n x 2 + c

Resposta

I = s e n 9 x 36 + s e n 7 x 28 + s e n x 2 + c

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