f) ∫ cos ⁡ x 1 + s e n 2 x d x

Passo 1

Vamos chamar nossa integral de I para facilitar nossa vida.

I = ∫ cos ⁡ x 1 + s e n 2 x d x

Passo 2

Utilizando o exercício 2, temos a ideia de fazer a seguinte substituição:

u = s e n ( x )

Derivando,

d u = c o s x d x

Isolando o fator cos ⁡ ( x ) d x , temos:

∫ cos ⁡ x 1 + s e n 2 x d x = ∫ 1 1 + s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x d x

Passo 3

Agora é só finalizar!

Nossa integral era:

I = ∫ 1 1 + s e n 2 x ⋅ cos ⁡ x d x

Indo para variável u :

I = ∫ 1 1 + u 2 d u

Não esquece: ∫ 1 1 + u 2 d u = arctg ⁡ u + c , eu sei que é difícil, mas dá um jeitinho de guardar!!

Integrando, temos:

I = arctg ⁡ u + c

Voltando para nossa variável inicial:

I = arctg ⁡ s e n x + c

Resposta

arctg ⁡ s e n x + c

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