Calcule a integral definida.

∫ - 1 1 cosh ⁡ x - senh ⁡ x d x

Passo 1

Para resolvermos a integral definida, primeiro temos que achar a integral intefinida

∫ cosh ⁡ x - senh ⁡ x d x

E depois usamos o teorema da variação total.

Aqui, usando as propriedades de integrais, vamos ter:

∫ cosh ⁡ x - senh ⁡ x d x = ∫ cosh ⁡ x d x - ∫ senh ⁡ x d x

Lembrando que:

∫ cosh ⁡ x d x = senh ⁡ x + C

E

∫ senh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C

Vamos encontrar:

∫ cosh ⁡ x - senh ⁡ x d x = ∫ cosh ⁡ x d x - ∫ senh ⁡ x d x = senh ⁡ x - cosh ⁡ x + C

Passo 2

Agora vamos ao teorema da variação total:

∫ - 1 1 cosh ⁡ x - senh ⁡ x d x = senh ⁡ x - cosh ⁡ x + C x = - 1 x = 1 =

senh ⁡ 1 - cosh ⁡ 1 + C - senh ⁡ - 1 - cosh ⁡ - 1 + C =

senh ⁡ 1 - cosh ⁡ 1 - senh ⁡ - 1 + cosh ⁡ - 1

Lembrando que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Vamos ter:

senh ⁡ 1 = e - e - 1 2

senh ⁡ - 1 = e - 1 - e 2

cosh ⁡ 1 = e + e - 1 2

cosh ⁡ - 1 = e - 1 + e 2

Substituindo na nossa expressão:

senh ⁡ 1 - cosh ⁡ 1 - senh ⁡ - 1 + cosh ⁡ - 1 = e - e - 1 2 - e + e - 1 2 - e - 1 - e 2 + e - 1 + e 2

e - e - 1 - e - e - 1 - e - 1 + e + e - 1 + e 2 = 2 e - 2 e - 1 2 = e - e - 1

Resposta

e - e - 1

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