Calcule a integral definida.

∫ 0 2 senh 3 ⁡ x cosh ⁡ x d x

Passo 1

Para resolvermos a integral definida, primeiro temos que achar a integral intefinida

∫ senh 3 ⁡ x cosh ⁡ x d x

E depois usamos o teorema da variação total.

Vamos usar o método da substituição. Isso porque

senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

Então, fazendo:

senh ⁡ x = u → cosh ⁡ x d x = d u

Substituindo na nossa integral:

∫ u 3 d u = u 4 4 + C

Voltando para x , vamos encontrar:

∫ senh 3 ⁡ x cosh ⁡ x d x = senh 4 ⁡ x 4 + C

Passo 2

Agora vamos ao teorema da variação total:

∫ 0 2 senh 3 ⁡ x cosh ⁡ x d x = senh 4 ⁡ x 4 + C x = 0 x = 2 = senh 4 ⁡ 2 4 + C - senh 4 ⁡ 0 4 + C =

senh 4 ⁡ 2 4 - senh 4 ⁡ 0 4

Lembrando que:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

Vamos ter:

senh ⁡ 2 = e 2 - e - 2 2

senh ⁡ 0 = e 0 - e 0 2 = 0

Substituindo na nossa expressão:

senh 4 ⁡ 2 4 - senh 4 ⁡ 0 4 = e 2 - e - 2 2 4 2 - 0 = e 2 - e - 2 4 32

Resposta

e 2 - e - 2 4 32

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